Vol. 17 N° 2
Julio - Diciembre 2025
Este artículo presenta un estudio empírico de un teorema acerca de los números primos que es poco estudiado: “Todo número primo mayor que 3 equivale a un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en una unidad”. Este teorema demostrado hace mucho tiempo indica que los números primos se pueden escribir como 6K — 1 o 6K + 1, con K un número entero positivo; pero, existen muchos valores de K para ambas formas que no generan números primos. Esta investigación se centra en las características o patrones de estos valores K que no generan números primos para las dos formas. La investigación demuestra que estos valores de K son infinitas progresiones aritméticas cuyas razones son números primos menores. Este descubrimiento permite generalizar los números primos a través de una criba con las restricciones de los valores de K; y a su vez, se logra demostrar la Conjetura de Goldbach (“todo número par mayor que 2, puede ser escrito como la suma de dos números primos”) con simplicidad de cálculos y a deducir tres corolarios de la misma.
This paper presents an empirical study of a theorem about prime numbers that is little studied: "Every prime number greater than 3 equals a multiple of 6 increased or decreased by one unit." This long-proven theorem indicates that prime numbers can be written as 6K — 1 or 6K + 1 , with k a positive integer, but there are many K-values for both forms that do not generate prime numbers. This research focuses on the characteristics or patterns of these K-values that do not generate prime numbers for the two forms. The research shows that these values of K are infinite arithmetic progressions whose ratios are smaller prime numbers. This discovery allows the generalization of prime numbers through a sieve with the constraints of the values of K; and in turn, it is possible to prove the Goldbach Conjecture ("every even number greater than 2 can be written as the sum of two prime numbers") with simplicity of calculations and to deduce three corollaries from the same values of K are infinite arithmetic progressions whose ratios are smaller prime numbers. This discovery allows the generalization of prime numbers through a sieve with the constraints of the values of K; and in turn, it is possible to prove the Goldbach Conjecture ("every even number greater than 2 can be written as the sum of two prime numbers") with simplicity of calculations and to deduce three corollaries from the same.
Los números primos han sido objeto de estudio y fascinación en la teoría de números debido a su relevancia como los "bloques fundamentales" en la construcción del conjunto de los números naturales. Entre estos resultados fundamentales, se encuentra el teorema que afirma que todo número primo mayor que 3 puede expresarse como un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en la unidad. Este teorema, aunque simple en apariencia, abre una ventana hacia el análisis de patrones estructurales de los números primos y su relación con aquellos que poseen esta misma forma pero que no son primos.
El presente estudio se enfoca en identificar y analizar los patrones en los números de la forma 6K + 1 y 6K — 1 que no son primos, con el objetivo de explorar si estas regularidades pueden contribuir a una generalización que caracterice a los números primos en términos más amplios. Adicionalmente, se examina cómo dichos patrones pueden ofrecer nuevas perspectivas para abordar la histórica Conjetura de Goldbach, la cual plantea que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. El enfoque metodológico empleado es de naturaleza inductiva, partiendo de la observación de casos particulares para construir una generalización considerable.
Definición: Se dice que un número entero p > 1 es primo si sus únicos divisores son 1 y p, es decir, no existe divisor d de p tal que 1 < d < p. Si un número a > 1 no es primo se dice que es un número compuesto.
Los primeros números primos son: 2,3,5,7,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...
Teorema 1: Todo número primo mayor que 3 equivale a un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en una unidad. Es decir que todo número primo p > 3, p = 6K — 1 o p = 6K + 1 con K un número entero positivo.
Demostración
Sea p un número primo mayor que 3, demostraremos que p = 6K — 1 o p = 6K + 1 con K un número entero positivo.
En efecto dividamos p entre 6, sea K el cociente y r el residuo tendremos p = 6K + r siendo 6 el divisor. Ver los casos:
Ver algunos ejemplos
5 = 6.1 — 1
7 = 6.1 + 1
11 = 6.2 — 1
2.1. No todos los valores de K enteros positivos generan números primos para 6K — 1 y 6K + 1.
Tabla I. Números de la forma 6K — 1 y 6K + 1 ordenados en gráfico que llamaré gráfico de espiga colocada en horizontal, en el tallo se colocan los valores de K , arriba de K el valor de 6K — 1 y debajo de K el valor de 6K + 1. Resaltado en verde están los números primos
Revisar los valores de K que no generan números primos para la forma 6K — 1. Estos son:
¿Qué tienen en común estos números?
Observación 1: Los números que están en rojo: 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106,… tienen en común que todos terminan en 1 y en 6, pero eso no es lo relevante, lo importante es que todos se pueden escribir como K = 6 + 5n, que es una progresión aritmética PA de razón 5. Para n = 0,1,2,3,4,... y podemos demostrar que generan a todos los múltiplos de 5 que tienen la forma 6K — 1 ¿Qué sucede si se sustituye este valor de K = 6 + 5n en la forma 6K — 1?
Véase la demostración:
Como se puede observar el resultado es un múltiplo de 5, es decir queda demostrado que el conjunto de valores de K = 6 + 5n, para n = 0,1,2,3,4, genera a todos los múltiplos de 5 de la forma 6K — 1.
Observación 2: Los números que están en sombreado amarillo: 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97, 104, 111, 118, 125, 132, 139, 146, 153, 160, 167, 174, 181, 188, 195, 202, 209, 216, 223, 230, … forman una PA de valores de K que se puede escribir de la forma K = 6 + 7n para n = 0,1,2,3,4, con razón 7 y afirmo que estos valores generan todos los múltiplos de 7 que tienen la forma 6K — 1 . Ver la demostración:
6(6 + 7n) — 1 =
6.6 + 6.7n — 1 =
36 + 6.7n — 1 =
35 + 6.7n =
7.5 + 6.7n =
7(5 + 6n) ⸫
queda demostrado que los valores de K = 6 + 7n para n = 0,1,2,3,4, generan los múltiplos de 7 para los números de la forma 6K — 1.
3.1. Más progresiones aritméticas que generan números compuestos de la forma 6K — 1
De la misma manera, como se estudió en la parte anterior. Se puede agregar más Progresiones aritméticas de números K = a + bn, para n = 0,1,2,3,4, forman números compuestos de la forma 6K — 1 con las siguientes características:
Tabla II. Valores de K que generan números compuestos para la forma 6K - 1
En esta tabla se puede observar algunos patrones:
Desde luego, se puede observar que los valores de K = a + bn que generan números compuestos de la forma 
, ver:
Cuando b = 5
luego K = 6 + 5n con n = 0,1,2,3,..., este K genera todos los múltiplos de 5 de la forma
Cuando b = 11
luego K = 13 + 11n con n = 0,1,2,3,...; este K genera todos los múltiplos de 11 de la forma 6k — 1, y así sucesivamente…
6(a + bn) — 1 = b(5 + 6n) despejar a de esta igualdad y queda:
Desde luego, se puede observar que los valores de K = a + bn que generan números compuestos de la forma 
, véase:
Cuando b = 7
luego K = 6 + 7n con n = 0,1,2,3..., este K genera todos los múltiplos de 7 de la forma
Cuando b = 13
luego K = 11 + 13n con n = 0,1,2,3; este K genera todos los múltiplos de 13 de la forma 6k — 1, y así sucesivamente…
Observar los valores de K que no generan números primos para la forma
, estos son:
4, 8, 9, 14, 15, 19, 20, 22, 24, 28, 29, 31, 34, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 48, 49, 50, 53, 54, 57, 59, 60, 64, 65, 67, 69, 71, 74, 75, 78, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 89, 92, 93, 94, 97, 98, 99, 104, 106, 108, 109, 111, 113, 114, 116, 117, 119, 120, 124, 127, 129, 130, 132, 133, 134, 136, 139, …
Realizando observaciones similares a las anteriores se encuentra que:
Observación 1: Los números 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, … es una progresión aritmética de valores de K que se pueden escribir de la forma
y forman los múltiplos de 5 para los números de la forma
.
Ver la demostración
…
⸫ Los valores de 
con 
generan todos números de la forma
que son múltiplos de 5.
Observación 2: Los números 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … es una PA de los valores de K que se puede escribir de la forma
y razón 7 y forman los múltiplos de 7 para los números de la forma
.
Demostración:
…
⸫ Los valores de 
con generan todos números de la forma
que son múltiplos de 7.
4.1 Más sucesiones de números K que generan números compuestos de la forma
Análogamente, se encuentra más Progresiones Aritméticas de valores de K que generan números compuestos de la forma
. Ver
Tabla III. Valores de K que generan números compuestos para la forma 6K + 1
4.2 Patrones observados en la tabla III:
donde
b es un número primo y
y
,
y cada sucesión está formada por los números compuestos de la
forma 6K + 1 que son múltiplos de b.
y
las otras de la forma
.
son los primos de la forma
,
es decir, 5, 11, 17, 23,… y los primos b que generan sucesiones de
números compuestos de la forma
son los números primos que se pueden escribir como
,
es decir, 7, 13,19,31,37
entonces
;
si b es un primo de la forma
,
entonces
.
.
Sea
,
entonces
,
es decir,
es un número de la forma
.
.
Sea
,
entonces
,
es decir,
es
un número de la forma
.
,
el factor con que genera los múltiplos de b de la forma
,
son de la forma
.
,
el factor con que genera los múltiplos de b de la forma
,
son de la forma
.
,
se obtiene multiplicando un número primo de la forma
por otro (no necesariamente primo) de la misma forma y un número
primo de la forma
por
otro (no necesariamente primo) de la misma forma.
los múltiplos de b son
,
luego para obtener el valor general de a sustituimos
en
y
queda:
despejamos a de esta igualdad y queda
Desde luego, podemos observar que los valores de
que generan números compuestos de la forma cuando b es de la forma , es decir, 5,11, 17,.. tienen un valor de
, veámoslo:
Cuando
luego 
, este K genera todos los múltiplos de 5 de la forma
Cuando
luego 
; este K genera todos los múltiplos de 11 de la forma
, y así sucesivamente…
los múltiplos de b son
,
luego para obtener el valor general de a sustituimos
en
y queda:
despejamos a de esta igualdad y queda
Desde luego, se puede observar que los valores de
que generan números compuestos de la forma cuando b es de la forma , es decir, 7,13, 19,.. tienen un valor de
, véase:
Cuando b=7
luego 
este K genera todos los múltiplos de 7 de la forma
Cuando b=13
luego 
; este K genera todos los múltiplos de 13 de la forma
, y así sucesivamente…
Con el estudio realizado en la parte 3 y parte 4 se puede concluir que los números primos se pueden obtener con la siguiente fórmula o criba:
Nota: Para conocer los números primos mayores que 3 y menores o igual a un número N dado, basta con estudiar los valores de 
. Luego 
despejando n queda de cada caso será:
,
se tiene dos opciones si b es de la forma
es
decir, 5,11,17,23.. o si b es de la forma
es decir, 7,13,19,31,. En el primer caso
Entonces
y despejando b quedarà
el mayor valor de b es cuando 
por lo tanto
En el segundo caso si b es de la forma
es decir, 7,13,19,31,. El valor de 
luego
Despejando b queda
el mayor valor de b es cuando por lo tanto 
Despejando n queda
Nota: Usando los valores del primer caso se obtienen los mismos números compuestos del segundo caso.
,
se tendrán dos opciones si b es de la forma
es
decir, 5,11,17,23.. o si b es de la forma
es decir, 7,13,19,31,. Realizando un estudio similar al anterior
se concluyen los siguientes despejes:
Ver el primer caso si b es de la forma
luego 
.
((5.b-1)/6) + bn ≤N/6
Despejando b queda
el mayor valor de b es cuando por lo tanto 
Despejando n queda
Segundo caso si
es decir, 7,13,19,31,
Despejando b queda
el mayor valor de b es cuando por lo tanto 
despejando n queda
La presente investigación sobre los números primos se desarrolla a partir de un enfoque inductivo, utilizando la observación de casos particulares para establecer generalizaciones y detectar patrones estructurales en números de la forma 6K + 1 y 6K — 1.
Todo número primo mayor que 3 equivale a un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en una unidad. Es decir que todo número primo p >3 , p = 6K-1 o p= 6K+1 con K un número entero positivo, siempre que:
,
; si b es un primo de la forma 6k-1, a>b y
; si b es un primo de la forma 6k – 1,
.
Demostración
Con el teorema 1 queda claro que los números primos mayores que 3 tienen dos formas de escribirse estas son
y . Pero también, que hay números de esas dos formas que no son primos, estos serían los números que resulten del producto de un primo de la forma por otro (no necesariamente primo) de la forma y viceversa, y uno de la forma por otro igual (no necesariamente primo), y uno de la forma
por otro igual (no necesariamente primo).
Ver el primer caso para la forma 6K — 1
Sea
con 
con b primo de la forma , es decir, 5,11,17, 23,…; 
. Si sustituimos
en la forma
quedará
Recordar que b es primo de la forma
, luego para ese valor de K los múltiplos de b serán de la forma 
. Con n= 0,1,2,3,… Es decir, para ese valor de K, la forma es un múltiplo de b. Por lo tanto, ese valor de K no genera números primos para la forma
.
Ver el segundo caso para la forma 6K — 1
Sea
con n = 0, 1, 2, 3, … con b primo de la forma 
es decir, 7,13,19; 
= 5b + 6bn
Recordar que b es primo de la forma
, luego para ese valor de K los múltiplos de b serán de la forma 
con n= 0,1,2,3,… Es decir, para ese valor de K, la forma es un múltiplo de b. Por lo tanto, ese valor de K no genera números primos para la forma
.
Véase el primer caso para la forma 6K + 1
Sea
con b primo de la forma , es decir, 5,11,17, 23,…; 
Al sustituir
+ bn en la forma 6K + 1 quedará:
6(
Como que b es primo de la forma
, luego para ese valor de K los múltiplos de b serán de la forma 
Es decir, para ese valor de K, la forma es un múltiplo de b. Por lo tanto, ese valor de K no genera números primos para la forma
.
Véase el segundo caso para la forma 6K + 1
Sea
con b primo de la forma
, es decir, 7,13,19;
Si se sustituye
en la forma
quedará:
Siendo que b es primo de la forma
, luego para ese valor de K los múltiplos de b serán de la forma 
Es decir, para ese valor de K, la forma es un múltiplo de b. Por lo tanto, ese valor de K no genera números primos para la forma
.
Con la demostración del teorema 1 (ya conocido) se ha visto que todos los números primos mayores que 3 se pueden escribir como
con K un número entero positivo. Y con el teorema 2 planteado, se ha encontrado las excepciones de K que no generan números primos para esas dos formas, y con estas demostraciones se tiene una criba que deja filtrar los números primos. Y queda demostrado que: los números primos se pueden obtener con la siguiente fórmula o criba:
Para determinar los números primos mayores que 3 menores que un N cualquiera se procede de la siguiente manera: Se hallan los valores de y hasta
. Luego se descartan los siguientes valores:
Para descartar los valores 6K-1 que no son primos
)
con la fórmula
dando valores a b desde 5 hasta
;
)
con la fórmula
dando valores a b desde 7 hasta
Para descartar los valores 6k+1 que no son primos
)
con la fórmula
dando valores a b desde 5 hasta
; Como b es de la forma
si
,
n se comienza a estudiar desde
y
se deja de estudiar hasta el máximo valor de n para dicho b con la
fórmula
El
estudio termina cuando para un
el máximo valor de n es igual al mínimo , es decir, el estudio
comienza con
y termina con
.
con la fórmula
dando valores a b desde 7 hasta
;
Como b es de la forma
si
,
n se comienza a estudiar desde n=h-1y se deja de estudiar hasta el
máximo valor de n para dicho b con la fórmula
El
estudio termina cuando para un
el máximo valor de n es igual al mínimo , es decir, el estudio
comienza con
y termina con
.
La Conjetura de Goldbach es una de las conjeturas más famosas en la teoría de números. Fue propuesta por el matemático prusiano Christian Goldbach en 1742 y afirma que:
Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2, puede ser escrito como la suma de dos números primos.
Demostración: Sean los números primos mayores que 3. Estos pueden representarse en una de las dos formas congruenciales:
p≡±1(mod6), es decir, p = 6K−1 o p = 6K+1 para alguˊn entero K
Según los Teoremas 1 y 2, se impone una condición adicional sobre los valores de K, definidos por expresiones del tipo:
según corresponda a la forma del primo b.
Los números primos no incluidos en el teorema 1 y 2 son los números 2 y 3.
Ver los casos
Sea un número par N mayor que 3, N se puede escribir como la suma de dos números primos, Ver los casos
es
par
no
es par
es par
le sumamos 2 será
es impar.
Ver los demás casos.,
es
par
es par
es par
es par
es
par.
Todas estas sumas son pares, por lo que se cumple que la suma de dos primos de estas formas genera un número par.
Si asumimos la infinitud de primos en ambas clases congruenciales y los valores de K compatibles según las restricciones dadas por los Teoremas 1 y 2, entonces cualquier número par mayor que 6 puede expresarse como la suma de dos números primos bajo alguna de las combinaciones descritas arriba. Por lo tanto cualquier número par mayor que 2 , puede ser escrito como la suma de dos números primos. Estos son:
Los demás números pares mayores que 6 pueden ser escritos de una o más de las siguientes maneras
Y así queda demostrada la Conjetura de Goldbach.
Ver los primeros ejemplos en la siguiente tabla
Tabla IX. Números pares del 8 al 100, escritos como suma de dos números primos
Demostración
Demostración
Demostración
En el desarrollo de la presente investigación, se ha establecido un método de criba que permite extender la definición y caracterización de los números primos, proporcionando un marco teórico que permite abordar la demostración de la conjetura de Goldbach. Durante la implementación del procedimiento, se realizó una discriminación sobre los valores de k y k′', lo que asegura la validez de los resultados obtenidos. No obstante, los valores de n no fueron discriminados, lo que permite la aparición de valores repetidos dentro del conjunto analizado. A pesar de ello, esta repetición no impacta la integridad de los hallazgos, ya que la estructura de la criba y las relaciones matemáticas establecidas preservan la coherencia lógica de los resultados.
Adicionalmente, la formulación del presente estudio ha dado lugar a la aparición de un conjunto de ecuaciones diofánticas específicas. Se plantea que el análisis detallado de estas ecuaciones, junto con la exploración de métodos eficientes para su resolución, podría derivar en el desarrollo de un algoritmo práctico capaz de determinar la primalidad de cualquier número entero positivo de manera sistemática.
La presente investigación ha desarrollado un método de criba que generaliza los números primos y aporta un marco teórico que logra la demostración de la conjetura de Goldbach. Además, la aparición de ecuaciones diofánticas específicas sugiere la posibilidad de diseñar un algoritmo eficiente para determinar la primalidad de los números enteros, En futuras investigaciones, sería conveniente estudiar estrategias óptimas para la resolución de estas ecuaciones diofánticas, considerando tanto métodos algebraicos como numéricos, con el fin de determinar patrones que faciliten la verificación de la primalidad de los números enteros.
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